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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

  1. Derive

n. f x = arcsin ⁡ x 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós queremos achar a derivada de uma função arcosseno, beleza?

E para fazer isso, vamos fazer isso vamos usar a derivada da função inversa. Para quem não lembra, temos que

f ' x = 1 f - 1 ' y

Bora lá!

Passo 2

Vamos considerar nossa função como sendo

f x = arcsin ⁡ x

Lembra que isso é uma função arcotangente, então a sua inversa será a função tangente. Logo a nossa função inversa será,

f - 1 y = sin ⁡ y

Ou também podemos escrever que

x = sin ⁡ y

Opaaa! Agora já podemos aplicar!

Passo 3

Derivando a nossa f - 1 y

f - 1 ' y = cos ⁡ y

Como isso, temos que,

f ' x = 1 cos ⁡ y

Mas repara que estamos em função de y ainda. Para sair dessa vamos usar uma identidade trigonométrica,

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Mas temos que x = sin ⁡ y . Então

x 2 + cos 2 ⁡ y = 1

cos 2 ⁡ y = 1 - x 2

cos ⁡ y = 1 - x 2

Substituindo, ficamos com,

f ' x = 1 cos ⁡ y = 1 1 - x 2

Pessoal! A gente achou a derivada da função arcosseno, mas o nosso problema pede outra derivada!

Passo 4

Derivando agora a nossa função do enunciado,

f x = arcsin ⁡ x 2

Vamos aplicar a regra da cadeia,

f ' x = x 2 ' arcsin ' ⁡ x 2

f ' x = 2 x 1 1 - x 2 2

f ' x = 2 x 1 - x 4

Prontinho!

Resposta

f ' x = 2 x 1 - x 4

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