UFES, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Estudos UFES - Cálculo 1 - Lista 10, Questão 30b
Seja .
Verifique que e calcule ;
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Precisamos considerar a seguinte função
precisamos verificar então que . Isso pode ser feito aplicando o valor de indicado na função. No entanto, a segunda parte irá requerer que encontremos a sua inversa e que usemos propriedades de derivação para encontrar a derivada e então, aplicar em ! Vamos passo a passo! Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos usar em nossa função
Beleza, mas quanto vale isso? Lembre que a função é a inversa da função definida como
Ou seja, encontrando o valor de para que , temos que este será o resultado de . Em nosso caso, vamos nos lembrar que para , temos que
Mas, como temos que a função tangente é uma razão de uma função ímpar (o seno), com uma função par (o cosseno), a função tangente é ímpar! E, sendo assim, temos que
E como discutimos, temos que
e, finalmente
Como queríamos mostrar! Vamos agora encontrar a nossa inversa!
Passo 3
O segredo para achar uma função inversa é fazer a troca e , e então isolar a função, temos que
Note que o problema na verdade não pede para isolarmos quem é , apenas encontrar a sua derivada e avaliar em um ponto específico! Devido ao formato da função acima, derivar implicitamente será mais fácil! Lembra como fazer isso? Devemos aplicar a regra da cadeia, em que se temos funções compostas da forma , a sua derivada será dada por
expandindo os produtos em nossa função, temos que
derivando em ambos os lados, temos que
em ambas precisaremos usar a regra da cadeia, no entanto, a primeira precisa de uma regra do produto e uma regra da cadeia adicional! Vamos começar com a segunda derivada então!
Passo 4
Vamos calcular a seguinte derivada
identificando na regra da cadeia que em que , temos que a derivada é
Usando a derivada conhecida
com , temos que
Ótimo! Guarde esse resultado que vamos usá-lo na outra derivada que temos que fazer!
Passo 5
Vamos resolver agora
temos aqui um produto de funções da forma , portanto, a derivada precisa ser realizada pela regra do produto
usando que e que , temos
A segunda derivada nós já calculamos nos passos anteriores! A primeira, precisaremos usar a regra da cadeia identificando que e que , portanto, temos que
lembrando a regra do tombo como
temos que para , obtemos
A regra do produto pode então ser escrita como
Maravilha!!! Vamos usar isso tudo para isolar a nossa derivada! Saca só!
Passo 6
Nós queríamos obter inicialmente
Substituindo os resultados que obtivemos, e usando a regra do tombo com do lado esquerdo, temos que
Se colocarmos a derivada em evidência, temos que
Vamos reescrever um pouco para ficar mais bonitinho, vamos usar que e evidenciar o termo , temos que
Note que também dividi tudo por , note que ainda podemos colocar em evidência para obter
Bem mais simples não é? Nossa derivada é dada por
Vamos aplicar agora no valor de desejado! Vem comigo!
Passo 7
Se tentarmos calcular agora , temos que
Como temos que é inversa de nossa função , e temos que , então temos que , de forma que obtemos
usando que , obtemos finalmente
ou, simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
e