Seja ,
- Mostre que é invertível
- Verifique que e calcule
Passo 1
- Para mostrar que é invertível vamos usar o Teorema da Função Inversa. Então, primeiro vamos derivar .
Agora temos que ver se , para que o teorema seja válido. Temos três possibilidades, vamos analisá-las:
- : Se então e , logo
- Se então e , logo
- : Se então e , então , logo
Portanto, é sempre positiva e nunca igual a zero, o que nos permite afirmar que o Teorema da Função Inversa é válido pra essa função, ou seja, ela possui inversa.
Passo 2
Passo 3
Agora vamos usar o teorema da função inversa para calcular . Sabemos que
Quando , temos que . Então
Logo
Resposta
- é invertível
- e