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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Seja f x = 2 x 2 + 1 arctan ⁡ x , x   ϵ   R

  1. Mostre que f é invertível
  2. Verifique que f - 1 = - π e calcule ( f - 1 ) ' ( - π )

Passo 1

  1. Para mostrar que f é invertível vamos usar o Teorema da Função Inversa. Então, primeiro vamos derivar f .

    2. f ' x = 2 2 x . arctan ⁡ x + 1 1 + x 2 ( x 2 + 1 )

    f ' x = 4 x . arctan ⁡ x + 2

    Agora temos que ver se f ' x ≠ 0 , para que o teorema seja válido. Temos três possibilidades, vamos analisá-las:

  • x > 0 : Se   x > 0 então 4 x > 0 e arctan ⁡ x > 0 , logo f ' x > 0
  • x = 0 : Se x = 0 então 4 x arctan ⁡ x = 0 e f ' x = 2 , logo f ' x > 0
  • x < 0 : Se   x < 0 então 4 x < 0 e arctan ⁡ x < 0 , então 4 x arctan ⁡ x > 0 , logo f ' x > 0

Portanto, f ' ( x ) é sempre positiva e nunca igual a zero, o que nos permite afirmar que o Teorema da Função Inversa é válido pra essa função, ou seja, ela possui inversa.

Passo 2

  • Primeiro, vamos substituir x por - 1 em f ( x ) .

    • f - 1 = 2 ( - 1 ) 2 + 1 arctan ⁡ ( - 1 )

    f - 1 = 2 2 - π 4

    f - 1 = - π

    Passo 3

    Agora vamos usar o teorema da função inversa para calcular ( f - 1 ) ' ( - π ) . Sabemos que

    f - 1 ' y = 1 f ' ( x )

    Quando y = - π , temos que x = - 1 . Então

    f ' - 1 = 4 - 1 . arctan ⁡ - 1 + 2 = - 4 - π 4 + 2 = π + 2

    Logo

    f - 1 ' - π = 1 π + 2

    Resposta

    1. f é invertível
    2. f - 1 = - π e f - 1 ' - π = 1 π + 2

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