Seja ,
- Mostre que é invertível
- Verifique que e calcule
Passo 1
- Para mostrar que é invertível vamos usar o Teorema da Função Inversa. Então, primeiro vamos derivar .
Agora temos que ver se , para que o teorema seja válido. Temos três possibilidades, vamos analisá-las:
- : Se então e , logo
- Se então e , logo
- : Se então e , então , logo
Portanto, é sempre positiva e nunca igual a zero, o que nos permite afirmar que o Teorema da Função Inversa é válido pra essa função, ou seja, ela possui inversa.
Passo 2
Passo 3
Agora vamos usar o teorema da função inversa para calcular . Sabemos que
Quando , temos que . Então
Logo
Resposta
- é invertível
- e
Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas
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Resolva o exercício 54 da série de exercícios 8.1, mostrando que arctan(x) e -arctan(1/x) diferem por uma constante e então calcule-a.
Dois pontos, A e B , são diametralmente opostos nas praias de um lago circular com 1 km de diâmetro. Uma pessoa deseja ir do ponto A ao ponto B . Ela pode remar a uma velocidade de 1 1 2 km/h e andar
Encontre a derivada da função dada:g(x) = x^2 * sec^(-1)(1/x)
Encontre a derivada da função dada:f(x) = sec^(-1)(raiz(x^2 + 4))
Encontre a derivada da função dada:f(x) = ln(tg^(-1)(3x))