11. Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos uma derivada para calcular, mas antes de começar vamos lembrar de uma notação:
Ou seja, aqui nós queremos achar a derivada de uma função arcotangente, beleza?
E para fazer isso, vamos fazer isso vamos usar a derivada da função inversa. Para quem não lembra, temos que
Bora lá!
Passo 2
Vamos considerar nossa função como sendo
Lembra que isso é uma função arcotangente, então a sua inversa será a função tangente. Logo a nossa função inversa será,
Ou também podemos escrever que
Opaaa! Agora já podemos aplicar!
Passo 3
Derivando a nossa
Como isso, temos que,
Mas repara que estamos em função de ainda. Para sair dessa vamos usar uma identidade trigonométrica,
Mas temos que . Então
Substituindo, ficamos com,
Pessoal! A gente achou a derivada da função arcotangente, mas o nosso problema pede outra derivada!
Passo 4
Derivando agora a nossa função do enunciado,
Vamos aplicar a regra da cadeia,