4. Uma função está definida implicitamente pela equação
Determine e e a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui a primeira coisa que vamos fazer é achar o nosso e para isso vamos precisar usar o nossos conhecimentos de ângulos notáveis na trigonometria.
Nós temos a seguinte função,
Para achar , nós temos que fazer , fica assim,
Essa equação é difícil de resolver né. Mas aqui temos que ter uma sacada marota! Repara que se anularmos a parte , vamos ter um ângulo notável na equação que é .
Vamos verificar que se ao anularmos esses termo, a nossa equação continua verdadeira:
Substituindo isso na nossa equação, ficamos,
Opaaa! Repara que a nossa equação é verdadeira, pois o arco cuja tangente é é justamente o . Sendo assim, temos que
Agora vamos achar essa derivada!
Passo 2
Para achar , vamos ter que derivar implicitamente e depois substituir . Lembrando que a derivada arcotangente é
Lembrando que o que queremos derivar é:
Como temos dentro do argumento, precisaremos também usar a regra da cadeia (derivando a função de fora e multiplicando pela derivada da função de dentro):
Fazendo a distributiva, ficamos com
Isolando ,
Fazendo agora e sabendo que nesse ponto , ficamos com
Agora vamos para equação da reta tangente!
Passo 3
Então, galerinha, para quem não lembra a equação da reta tangente tem essa cara aqui,
Onde, é o ponto onde a reta tangente passa e é a derivada no ponto.
O enunciado pede a reta tangente ao ponto , e vimos que . Ou seja, e .
Além disso, no passo anterior, vimos que . Então agora é só substituir tudo,