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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Verifique a igualdade

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

Passo 1

Aqui, precisamos usar a Regra da cadeia com a função arco tangente e o quociente de dentro:

f x = arctg ⁡ x           ;           g x = x 1 + 1 - x 2

Onde queremos:

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = d d x f g x

= f ' g x g ' x

Passo 2

Derivando f :

f ' x = arctg ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Agora g :

g ' x = x 1 + 1 - x 2 ' = x ' 1 + 1 - x 2 - x 1 + 1 - x 2 ' 1 + 1 - x 2 2

= 1 1 + 1 - x 2 - x 0 + 1 - x 2 ' 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2

= 1 + 1 - x 2 - x - 2 x 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2 = 1 + 1 - x 2 + x 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2

= 1 - x 2 + 1 - x 2 + x 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2 = 1 - x 2 + 1 1 + 1 - x 2 2 1 - x 2

= 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

Passo 3

Reunindo o que achamos lá na Regra da Cadeia:

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = d d x f g x

= f ' g x g ' x = 1 1 + x 1 + 1 - x 2 2 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

= 1 1 + 1 - x 2 2 + x 2 1 + 1 - x 2 2 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

= 1 + 1 - x 2 2 1 + 1 - x 2 2 + x 2 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

= 1 - x 2 + 1 1 - 2 1 - x 2 + 1 - x 2 + x 2 1 1 - x 2

= 1 - x 2 + 1 2 + 2 1 - x 2 1 1 - x 2 = 1 - x 2 + 1 2 1 + 1 - x 2 1 1 - x 2

= 1 2 1 1 - x 2

De onde concluímos que:

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

Resposta

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

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