1. Derive
j.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós queremos achar a derivada de uma função arcotangente, beleza?
E para fazer isso, vamos usar a derivada da função inversa. Para quem não lembra, temos que
Bora lá!
Passo 2
Vamos considerar nossa função como sendo
Lembra que isso é uma função arcotangente, então a sua inversa será a função tangente. Logo a nossa função inversa será,
Ou também podemos escrever que
Opaaa! Agora já podemos aplicar!
Passo 3
Derivando a nossa , das tabelas de derivadas, temos que:
Como isso, temos que,
Mas repara que estamos em função de ainda. Para sair dessa vamos usar a seguinte uma identidade trigonométrica, pois ela tem um termo de e isso vai nos ajudar a colocar tudo em função de x.
Mas temos que . Então
Substituindo, ficamos com,
Pessoal! A gente achou a derivada da função arcotangente, mas o nosso problema pede outra derivada!
Derivando agora a nossa função do enunciado,
Vamos aplicar a regra da cadeia,
Passo 4
Para achar vamos aplicar a regra da cadeia também,
E para achar a derivada de , vamos ter que aplicar a regra da cadeia mais uma vez,
Logo,
Passo 5
Sendo assim, temos que,