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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

  1. Derive

m. f x = x arcsin ⁡ x + 1 - x 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós queremos achar a derivada que é uma somatóro de uma função arcosseno e função polinomial. Sendo assim, vamos resolver as duas partes separadas!

f ' x = x arcsin ⁡ x ' + 1 - x 2 '

Para achar a derivada de uma função arcosseno, vamos usar a derivada da função inversa. Para quem não lembra, temos que

g ' x = 1 g - 1 ' y

Bora lá!

Passo 2

Vamos considerar nossa função como sendo

g x = arcsin ⁡ x

Lembra que isso é uma função arcotangente, então a sua inversa será a função tangente. Logo a nossa função inversa será,

g - 1 y = sin ⁡ y

Ou também podemos escrever que

x = sin ⁡ y

Opaaa! Agora já podemos aplicar!

Passo 3

Derivando a nossa g - 1 y

g - 1 ' y = cos ⁡ y

Como isso, temos que,

g ' x = 1 cos ⁡ y

Mas repara que estamos em função de y ainda. Para sair dessa vamos usar uma identidade trigonométrica,

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Mas temos que x = sin ⁡ y . Então

x 2 + cos 2 ⁡ y = 1

cos 2 ⁡ y = 1 - x 2

cos ⁡ y = 1 - x 2

Substituindo, ficamos com,

g ' x = 1 cos ⁡ y = 1 1 - x 2

Pessoal! A gente achou a derivada da função arcosseno, mas o nosso problema pede outra derivada!

Passo 4

Derivando ( x arcsin ⁡ x ) ' , vamos aplicar a regra da produto,

x arcsin ⁡ x ' = x ' arcsin ⁡ x + x arcsin ⁡ x '

x arcsin ⁡ x ' = arcsin ⁡ x + x 1 1 - x 2

x arcsin ⁡ x ' = arcsin ⁡ x + x 1 - x 2

Agora vamos para segunda parte do somatório!

Passo 5

Derivando 1 - x 2 ' , vamos usar a regra da cadeia

1 - x 2 ' = 1 - x 2 ' 1 - x 2 '

1 - x 2 ' = - 2 x 1 2 1 - x 2  

1 - x 2 ' = - x 1 - x 2  

Agora vamos juntar tudo!

Passo 6

Tinhamos do Passo 1 que

f ' x = x arcsin ⁡ x ' + 1 - x 2 '

Substituindo as derivadas que encontramos,

f ' x = arcsin ⁡ x + x 1 - x 2 + - x 1 - x 2

f ' x = arcsin ⁡ x + x 1 - x 2 - x 1 - x 2

f ' x = arcsin ⁡ x

Prontinho!

Resposta

f ' x = arcsin ⁡ x

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