UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.6 – Questão P1m
Determine a derivada das funções abaixo
Passo 1
Oi, pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema deu essa função aqui
E pediu a derivada!
Até agora só conhecemos a derivada de seno e cosseno, mas e dessa coisa aí? Bom! O primeiro passo é reescrever essa função em termos de seno e cosseno! Assim transformamos uma função que a gente (ainda) não conhece a derivada em uma com funções cuja derivada a gente já manja!
Depois de simplificar essa função o máximo que for possível, aí sim vamos derivar! Usando a regra do produto, quociente, o que for preciso..., mas vamos com calma! Um passo de cada vez! Primeiro é fazer a simplificação
Lembrando que e que nossa função fica assim:
Calma! Da relação fundamental da trigonometria , então e nossa função fica:
Passo 2
Agora que já simplificamos nossa função, vamos olhar ela com mais carinho
Assim que você olhar uma função que tem uma divisão precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE!
A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.
Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções :
A ideia aqui é identificar quem são essas funções e no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do produto
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Tranquilo?
Passo 3
Nossa função em termos de seno cosseno e do seno é
Podemos dizer que em cima temos e embaixo
E a derivada do quociente de funções é
As derivadas de e são:
Lembrando que aqui usei a regra da cadeia, onde nas duas funções a função de fora é a potência ao cubo, e a de dentro em uma é o cosseno e na outra o seno.
Agora é só aplicar na regra do quociente:
E usar a relação fundamental e por fim lembrar que e
Aí nossa derivada fica assim:
Beleza?
Espero ter ajudado!
Até a próxima!