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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Calcule o que se pede:

Seja F x = G arctan ⁡ x x - 1 , onde a função G é diferenciável. Calcule F ' 1 2 se conhecemos a informações: G ' 1 2 = - 4 ; G ' - π 4 = 2 ; G ' 3 π 4 = 4 .

Passo 1

De novo é aplicar direto as regras que aprendemos na teoria. E lembre-se a derivada de G da coisa é G ' da coisa vezes a derivada da coisa. Nesse caso a coisa é arctan ⁡ o u t r a   c o i s a .

F ' x = G ' arctan ⁡ x x - 1 × arctan ⁡ x x - 1 '

Passo 2

A derivada da arcontangente precisar estar na cabeça. Se fizermos u = x x - 1

arctan ⁡ u ' = 1 1 + u 2 × u '

Passo 3

Derivando u em função de x .

u é um quociente, então não tem outro caminho vamos usar a regra do quociente para derivar ele.

u ' = x - 1 - x x - 1 2 = - 1 x - 1 2

Passo 4

Colocando todo mundo no lugar

F ' x = G ' arctan ⁡ x x - 1 × arctan ⁡ x x - 1 '

F ' x = G ' arctan ⁡ x x - 1 × 1 1 + x 2 x - 1 2 × - 1 x - 1 2

F ' x = - G ' arctan ⁡ x x - 1 × 1 x - 1 2 + x 2 x - 1 2 × 1 x - 1 2

F ' x = - G ' arctan ⁡ x x - 1 × x - 1 2 x - 1 2 + x 2 × 1 x - 1 2

F ' x = - G ' arctan ⁡ x x - 1 × 1 x - 1 2 + x 2

Passo 5

Aplicando no ponto

F ' 1 2 = - G ' arctan ⁡ 1 2 1 2 - 1 × 1 1 2 - 1 2 + 1 2 2

F ' 1 2 = - G ' arctan ⁡ 1 2 - 1 2 × 1 - 1 2 2 + 1 2 2 = - G ' arctan ⁡ - 1 × 1 1 4 + 1 4

Aqui vale a pena lembrar um pequeno detalhe da função arco tangente. Se olharmos aquele arco tangente que temos ali, é o mesmo que saber qual ângulo tem tangente igual a - 1 , podemos ter

x = arctan ⁡ - 1 → x = - π 4 x = 3 π 4

Mas qual dos dois valores vamos usar? Na verdade a definição de arco tangente nos diz que o arco tangente vai de - π / 2 até π / 2 , então aquele segundo valor, por mais que ele tenha tangente igual a - 1 ele não entra no domínio da função arcotangente. Então

F ' 1 2 = - G ' - π 4 × 1 1 2

F ' 1 2 = - 2 × 2

Resposta

F ' 1 2 = - 4

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