Determine dy / dx

y = (1 - sec(x)) / (tg(x))

Passo 1

Olha, toda vez que aparecer alguma função de trigonométrica que não seja seno e cosseno de forma direta, uma alternativa sempre válida e reescrever essa função em função de seno e cosseno. Por exemplo:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

t g x = s e n x cos ⁡ x

Por que eu gosto de fazer isso? Porque eu sei derivar seno e cosseno, o restante eu não faço ideia hahaha Então se você é assim também, é uma ótima alternativa e você não fica assustado quando aparecer esses caras aí.

Reescrevendo a função y temos então:

y = 1 - 1 cos ⁡ x s e n x cos ⁡ x = cos ⁡ x s e n x - 1 s e n x = cos ⁡ x - 1 s e n x

Passo 2

Vamos agora fazer nossa derivadaaa!!

d d x cos ⁡ x - 1 s e n ( x ) = r e g r a   d o   q u o c i e n t e ‼ ‼

d d x cos ⁡ x - 1 s e n ( x ) = d d x cos ⁡ x - 1 s e n x - cos ⁡ x - 1 d d x s e n ( x ) s e n 2 ( x )

d d x cos ⁡ x - 1 s e n x - cos ⁡ x - 1 d d x s e n ( x ) s e n 2 ( x ) = - s e n x s e n x - cos 2 ⁡ x + c o s ⁡ ( x ) s e n 2 ( x )

- s e n x s e n x - cos 2 ⁡ x + cos ⁡ x s e n 2 x = - s e n 2 x - cos 2 ⁡ x + cos ⁡ x s e n 2 x

- ( s e n 2 x + cos 2 ⁡ x ) + cos ⁡ x s e n 2 x

Opa, apareceu ali um s e n 2 x + cos 2 ⁡ ( x )   e isso é uma propriedade trigonométrica que fala que essa soma é necessariamente igual a 1!!

d d x cos ⁡ x - 1 s e n ( x ) = - 1 + cos ⁡ x s e n 2 x

Resposta

d y d x = cos ⁡ x - 1 s e n 2 x

Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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