Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Ver Teoria

Enunciado

Determine d y d x

y = 1 - sec ⁡ x t g x    

Passo 1

Olha, toda vez que aparecer alguma função de trigonométrica que não seja seno e cosseno de forma direta, uma alternativa sempre válida e reescrever essa função em função de seno e cosseno. Por exemplo:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

t g x = s e n x cos ⁡ x

Por que eu gosto de fazer isso? Porque eu sei derivar seno e cosseno, o restante eu não faço ideia hahaha Então se você é assim também, é uma ótima alternativa e você não fica assustado quando aparecer esses caras aí.

Reescrevendo a função y temos então:

y = 1 - 1 cos ⁡ x s e n x cos ⁡ x = cos ⁡ x s e n x - 1 s e n x = cos ⁡ x - 1 s e n x

Passo 2

Vamos agora fazer nossa derivadaaa!!

d d x cos ⁡ x - 1 s e n ( x ) = r e g r a   d o   q u o c i e n t e ‼ ‼

d d x cos ⁡ x - 1 s e n ( x ) = d d x cos ⁡ x - 1 s e n x - cos ⁡ x - 1 d d x s e n ( x ) s e n 2 ( x )

d d x cos ⁡ x - 1 s e n x - cos ⁡ x - 1 d d x s e n ( x ) s e n 2 ( x ) = - s e n x s e n x - cos 2 ⁡ x + c o s ⁡ ( x ) s e n 2 ( x )

- s e n x s e n x - cos 2 ⁡ x + cos ⁡ x s e n 2 x = - s e n 2 x - cos 2 ⁡ x + cos ⁡ x s e n 2 x

- ( s e n 2 x + cos 2 ⁡ x ) + cos ⁡ x s e n 2 x

Opa, apareceu ali um s e n 2 x + cos 2 ⁡ ( x )   e isso é uma propriedade trigonométrica que fala que essa soma é necessariamente igual a 1!!

d d x cos ⁡ x - 1 s e n ( x ) = - 1 + cos ⁡ x s e n 2 x

Resposta

d y d x = cos ⁡ x - 1 s e n 2 x

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o exercício 54 da série de exercícios 8.1, mostrando que arctan ⁡ x e - arctan ⁡ 1 x diferem por uma constante e então calcule-a.
Dois pontos, A e B , são diametralmente opostos nas praias de um lago circular com 1 km de diâmetro. Uma pessoa deseja ir do ponto A ao ponto B . Ela pode remar a uma velocidade de 1 1 2 km/h e andar
Encontre a derivada da função dada:f (x) = sec^(- 1) (sqrt(x^2 + 4))
Encontre a derivada da função dada:f (x) = ln (tg^(- 1) 3 x)
Encontre a derivada da função dada:g (x) = x^2 sec^(- 1) (1)/(x)