1. Derive
l.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós queremos achar a derivada de uma função que é um somatório de uma função arcotangente e função logarítmica. Sendo assim, vamos resolver as duas partes separadas!
Para achar a derivada da função arcotangente, vamos usar a derivada da função inversa. Para quem não lembra, temos que
Bora lá!
Passo 2
Vamos considerar nossa função como sendo
Como isso é uma função arcotangente, então a sua inversa será a função tangente. Logo a nossa função inversa será,
Ou também podemos escrever que
Opaaa! Agora já podemos aplicar!
Derivando a nossa
Como isso, temos que,
Passo 3
Então econtramos que
Mas repara que estamos em função de ainda. Para sair dessa vamos usar uma identidade trigonométrica,
Vamos usar isso porque temos que . Então
Substituindo, ficamos com,
Pessoal! A gente achou a derivada da função arcotangente, mas o nosso problema pede outra derivada!
Derivando agora a nossa função do enunciado, . Vamos aplicar a regra do produto
Passo 4
Vamos fazer agora a derivada da função logarítmica, aplicando a regra da cadeia,
Agora vamos juntar tudo!
Passo 5
No Passo 1, vimos que,
Substituindo a derivada de cada parte, ficamos com
Prontinho!