UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.6 – Questão P1k
Determine a derivada das funções abaixo
Passo 1
Oi, pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema deu essa função aqui
E pediu a derivada!
Até agora só conhecemos a derivada de seno e cosseno, mas e da cotangente? Bom! O primeiro passo é reescrever essa função em termos de seno e cosseno! Assim transformamos uma função que a gente (ainda) não conhece a derivada em uma com funções cuja derivada a gente já manja!
Precisamos lembrar que a função cotangente é o inverso da tangente! Assim
Aí nossa função fica assim
Assim que você olhar uma função que tem uma divisão precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE!
A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.
Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções :
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa função em termos do cosseno e do seno é
Podemos dizer que em cima temos e embaixo
E a derivada do quociente de funções é
As derivadas de e são:
Agora é só aplicar na regra do quociente:
Mas da relação fundamental da trigonometria , assim nossa derivada fica ainda mais simples:
Tranquilo?
Passo 3
Mas agora nos resta simplificar essa expressão final, não que o resultado esteja errado, mas para você ter uma fórmula para a derivada da secante em termos das funções trigonométricas, sem envolver uma divisão
Para isso vamos lembrar que
Aí nosso resultado pode ser reescrito em termos da cossecante:
Pronto! Descobrimos a derivada da cotangente:
E agora você pode usar sempre que precisar! Não precisa mais abrir no quociente, pode se jogar nessa fórmula!