Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Ver Teoria
Exercício 3512345678910111213141516171819202122232425262728293031323334363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465

Enunciado

Encontre y ' , se y = y ( x ) é definida implicitamente pela equação

x arctan ⁡ y = x 2 + y ²

Passo 1

Para achar y ' temos que derivar implicitamente a equação dada, em relação à variável x . Então vamos pôr a mão na massa.

x . arctan ⁡ y ' = x 2 ' + y 2 '

Para o primeiro termo, vamos usar regra do produto.

x ' . arctan ⁡ y + arctan ⁡ y ' . x = 2 x . x ' + 2 y . y '

1 . arctan ⁡ y + 1 1 + y 2 . y ' . x = 2 x . 1 + 2 y . y '

arctan ⁡ y + x y ' 1 + y 2 = 2 x + 2 y . y '

Passo 2

Agora vamos passar tudo que possui y ' para o mesmo lado, para podermos isolá-lo.

x y ' 1 + y 2 - 2 y . y ' = 2 x - arctan ⁡ y

y ' x 1 + y 2 - 2 y = 2 x - arctan ⁡ y

y ' = 2 x - arctan ⁡ y x 1 + y 2 - 2 y

y ' = 2 x - arctan ⁡ y x - 2 y ( 1 + y 2 ) 1 + y 2

y ' = ( 1 + y 2 ) ( 2 x - arctan ⁡ y ) x - 2 y ( 1 + y 2 )

Resposta

y ' = ( 1 + y 2 ) ( 2 x - arctan ⁡ y ) x - 2 y ( 1 + y 2 )

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o exercício 54 da série de exercícios 8.1, mostrando que arctan ⁡ x e - arctan ⁡ 1 x diferem por uma constante e então calcule-a.
Dois pontos, A e B , são diametralmente opostos nas praias de um lago circular com 1 km de diâmetro. Uma pessoa deseja ir do ponto A ao ponto B . Ela pode remar a uma velocidade de 1 1 2 km/h e andar
Encontre a derivada da função dada:f (x) = sec^(- 1) (sqrt(x^2 + 4))
Encontre a derivada da função dada:f (x) = ln (tg^(- 1) 3 x)
Encontre a derivada da função dada:g (x) = x^2 sec^(- 1) (1)/(x)