UFES, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Estudos UFES - Cálculo 1 - Lista 11, Questão 10
Derive as funções dos exercícios a (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos a seguinte função que precisaremos derivar
em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada
quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!
Passo 2
Aqui a primeira coisa que nos será útil é lembrar a seguinte propriedade do logaritmo, temos que
Portanto, podemos escrever que
lembrando que o logarítmo neperiano é a inversa da função exponencial, portanto
obtemos então
bem mais simples do que o produto que tínhamos antes, não é? Vamos começar a derivar agora!
Passo 3
Antes de derivarmos essa função é conveniente aplicarmos novamente a função logarítmica para obter
usando novamente a propriedade do logaritmo para tombar o expoente, temos que
Agora, vamos derivar ambos os lados! Aplicando o operador derivada, obtemos que
O lado esquerdo precisa ser expandido usando a regra da cadeia e o lado direito usando a regra do produto! Começando com o lado direito, temos que
portanto, obtemos que
usando a regra do tombo
e a derivada logarítmica que apresentei no passo , temos que
Para a outra derivada vamos precisar da regra da cadeia! Lembra dela? Vem comigo!
Passo 4
Para a outra derivada, temos uma função composta da forma , portanto devemos derivá-las usando que
identificando que e que , temos que
usando a derivada logarítmica que apresentei no passo podemos escrever que
Portanto
se aplicarmos novamente a regra da cadeia, mas agora para e , temos que
E, desta forma podemos escrever finalmente que
Vamos usar esse resultado em nossa derivada original! Saca só!
Passo 5
Juntando os resultados obtidos antes, temos que
E, como temos que , obtemos simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!