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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

  1. Calcule a derivada da funçã f x em cada um dos itens abaixo:
  1. f x = arctan ⁡ 1 x

  2. f x = x - 2 + x x

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa derivada vamos aplicar a regra da cadeia!

    2. Para quem não lembrar, ela diz o seguinte,

    y = f g x → y ' = g ' x f ' g x

    Nossa função é

    y = arctan ⁡ 1 x

    Então temos que

    f x g = arctan ⁡ x g → f ' x g = 1 x g 2 + 1

    g x = 1 x → g ' x = - 1 x 2

    Substituindo ficamos com

    y ' = - 1 x 2 1 1 x 2 + 1

    Ajeitando ficamos com,

    y ' = - 1 x 2 1 x 2 + 1 1 x 2 + 1 x 2 x 2 = - 1 x 2 x 2 x 2 + 1

    y ' = - 1 x 2 + 1

    Passo 2

  2. Agora temos a seguinte função

f x = x - 2 + x x

Derivando,

f ' x = x - 2 ' + x x '

O primeiro termo da soma, a gente consegue derivar o usando a regra do polinômio. Então fica assim,

x - 2 ' = - 2 x - 3

Agora vamos olhar para o segundo termo da soma o x x .

Repara que temos x no base e x no expoente. Quando a função tiver essa cara, vamos aplicar uma propriedade de logaritmo e reescrescer a função assim,

y = x x = e x ln ⁡ x

Agora ela fica mais fácil de resolver! Bora lá!

Passo 2

Para resolver a derivada,

y = e x ln ⁡ x

Vamos utilizar a regra da cadeia de novo

Fazendo a correlação com a regra da cadeia temos que

f x g = e x g

g x = x ln ⁡ x

Aplicando a regra da cadeia ficamos com,

y ' = x ln ⁡ x ' e x ln ⁡ x

Passo 3

Agora temos que resolver a parte x ln ⁡ x ' e para isso vamos usar a regra do produto!

Então fica assim,

x ln ⁡ x ' = 1 . ln ⁡ x + x x

x ln ⁡ x ' = ln ⁡ x + 1

Logo, minha derivada será

y ' = ln ⁡ x + 1 e x ln ⁡ x

Mas lembra que lá no Passo 2, fizemos que

y = x x = e x ln ⁡ x

Então substituindo, temos que

f ' x = x x ln ⁡ x + 1

Agora vamos juntar tudo!

Passo 4

Então a derivada de f x = x - 2 + x x será

f ' x = x - 2 ' + x x '

f ' x = - 2 x - 3 + x x ln ⁡ x + 1

Resposta

  1. f ' x = - 1 x 2 + 1
  2. f ' x = - 2 x - 3 + x x ln ⁡ x + 1

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