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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Considere a função invertível f x = 1 + 2 arctg ⁡ x .

Calcule f - 1 ' 2

Passo 1

Sabemos que

f - 1 ' 2 = 1 f ' y = 1 f ' f - 1 2

Então vamos precisar encontrar f ' x e f - 1 2 .

E quando teremos x = f - 1 ( 2 ) , ou seja, f x = 2 ?

2 = 1 + 2 arctg ⁡ x

1 = 2 arctg ⁡ x → 2 0 = 2 arctg ⁡ x

arctg ⁡ x = 0

x = 0

Logo, queremos:

f - 1 ' 2 = 1 f ' 0

Passo 2

Calculando f ' x

f ' x = 0 + 2 arctg ⁡ x × ln ⁡ 2 × arctg ⁡ x '

= 0 + 2 arctg ⁡ x ln ⁡ 2 1 1 + x 2

f ' x = ln ⁡ 2 2 arctan ⁡ x 1 + x 2

Passo 3

Aplicando a derivada da função inversa.

f - 1 ' 2 = 1 f ' f - 1 2 = 1 f ' 0 = 1 ln ⁡ 2 2 arctan ⁡ 0 1 + 0 2

f - 1 ' 2 = 1 ln ⁡ 2 2 0 1 + 0 = 1 ln ⁡ 2 1

Resposta

1 ln ⁡ 2

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