1. Derive
h.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos uma derivada para calcular e a nossa função é bem grandinha:
Como é um somatório, vamos primeiro calcular o a derivada do primeiro termo da soma aplicando a regra do produto e da cadeia.
Já no segundo termo, nós queremos achar a derivada de uma função arcosseno, beleza? E para fazer isso, vamos fazer isso vamos usar a derivada da função inversa. Para quem não lembra, temos que
Bora lá!
Passo 2
Vamos chamar o nosso primeiro termo de , ou seja,
Para fazer essa derivada vamos aplicar primeiro a regra do produto,
Derivando, ficamos com,
Note que mantive o termo sem derivar, pois aqui vamos ter aplicar a regra da cadeia. Então derivando essa parte, ficamos com
Juntando na nossa derivada de
Ajeitando,
Agora vamos para próxima parte!
Passo 3
Vamos considerar nossa função como sendo
Lembra que isso é uma função arcotangente, então a sua inversa será a função tangente. Logo a nossa função inversa será,
Ou também podemos escrever que
Opaaa! Agora já podemos aplicar!
Passo 4
Derivando a nossa
Como isso, temos que,
Mas repara que estamos em função de ainda. Para sair dessa vamos usar uma identidade trigonométrica,
Mas temos que . Então
Substituindo, ficamos com,
Pessoal! A gente achou a derivada da função arcosseno, mas a nossa segunda parte da função é um pouco diferente!
Passo 5
Nós queremos achar agora,
Vamos aplicar a regra da cadeia,
Passo 6
Juntando todas as partes, temos que a nossa derivada será,