UFES, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Estudos UFES - Cálculo 1 - Lista 11, Questão 6
Derive as funções dos exercícios a (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos a seguinte função que precisaremos derivar
em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada
quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!
Passo 2
Primeira coisa, temos uma função que é razão entre duas funções, da forma , normalmente, usaríamos a regra do quociente, mas e se no lugar usarmos a seguinte propriedade do logarítmo
identificando que e , temos
usando também a propriedade
podemos expandir o primeiro termo identificando que e , ficando com a seguinte expressão
Só mais uma propriedade do logaritmo antes de começarmos a derivar, lembre que o logarítmo neperiano é a inversa da função exponencial, portanto
e, finalmente, obtemos
bem mais simples do que a razão que tínhamos antes, não é? Vamos começar a derivar agora!
Passo 3
Derivando em ambos os lados, temos pela linearidade do operador derivada que
Temos aqui duas derivadas conhecidas
e
para as outras duas, temos funções compostas da forma , portanto devemos derivá-las usando que
identificando que e que , temos que
Usando a regra do tombo
podemos escrever que
usando a derivada logarítmica que apresentei no passo , temos que
Ainda temos mais uma derivada para calcular! Mas vamos beber uma aguinha primeiro! No jeito? Bora lá!
Passo 4
Agora, vamos usar a regra da cadeia denovo, mas com e , temos que
o que queremos neste problema é , portanto, usando todos os resultado que obtivemos até agora, temos que
Portanto, usando que a nossa derivada será
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!