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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 32

Calcule a integral

∫ 0 5 ∫ 0 25 - x 2 ∫ 0 25 - x 2 - y 2 1 1 + x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Passo 1

Olá meu amigo, aqui é hora de simplesmente calcularmos uma integral, sem muita conversa no enunciado. O problema em si é como calcular isso, de cara já vemos que teremos que encontrar uma parametrização adequada que facilite nossas vidas.

E vamos de coordenadas esféricas para essa situação

x = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

y = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Os nossos intervalos são encontrados a partir do momento em que substituímos os intervalos dados por nossas parametrizações

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π 2

0 ≤ ρ ≤ 5

O nosso querido jacobiano é um velho conhecido em coordenadas esféricas e é

J = ρ 2 sin ⁡ ϕ

Passo 2

Hora de montar a integral e calcular com os novos limites e com a parametrização encontrada

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 5 1 ρ 2 + 1 ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ ϕ ∫ 0 5 ρ 2 ρ 2 + 1 d ρ d ϕ d θ

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ ϕ ∫ 0 5 ρ 2 + 1 ρ 2 + 1 - 1 ρ 2 + 1 d ρ d ϕ d θ

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ ϕ ∫ 0 5 1 - 1 ρ 2 + 1 d ρ d ϕ d θ

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ ϕ ρ - arctan ⁡ ρ 0 5 d ϕ d θ

= ( 5 - arctan ⁡ 5 ) ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ ϕ d ϕ d θ

= 5 - arctan ⁡ 5 ∫ 0 π 2 d θ

= π ( 5 - arctan ⁡ 5 ) ∙ 1 2

Resposta

= π ( 5 - arctan ⁡ 5 ) ∙ 1 2

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Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )