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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 8 – Exercício 20

(Capítulo 15.8 – Exercício 20) Utilize coordenadas cilíndricas.

Calcule ∭ E x d V , onde E está delimitado pelos planos z = 0 e z = x + y + 5 e pelos cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Show de bola, galera, nesse exercício, vamos usar a conversão para coordenadas cilíndricas para calcularmos a integral ∭ E x d V , onde E está delimitado pelos planos z = 0 e z = x + y + 5 e pelos cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9

Então boraaa

Passo 2

Vamos lembrar do conceito de coordenadas cilíndricas...As relações entre coordenadas cilíndricas r , θ , z e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Sabendo que x = r cos ⁡ θ e que y = r sen ⁡ θ , traduzimos a informação de que a região está entre os cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 como sendo:

4 ≤ x 2 ⏟ r cos ⁡ θ 2 + y 2 ⏟ r sen ⁡ θ 2 ≤ 9 ↔ 2 2 ≤ r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ≤ 3 2 ↔ 2 ≤ r ≤ 3

A informação de que a região está entre os planos z = 0 e z = x + y + 5 pode ser traduzida da seguinte forma:

0 ≤ z ≤ x + y + 5 ↔ 0 ≤ z ≤ r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ + 5

Além disso, como não temos restrição para o ângulo θ , temos que:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim, ficamos com a seguinte integral:

∭ E x d V = ∫ 0 2 π ∫ 2 3 ∫ 0 r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ + 5 r cos ⁡ θ r d z d r d θ

Passo 3

Calculando a integral:

∭ E x d V = ∫ 0 2 π ∫ 2 3 ∫ 0 r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ + 5 r cos ⁡ θ r d z d r d θ ⏟ d V =

= ∫ 0 2 π ∫ 2 3 r 2 cos ⁡ θ r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ + 5 d r d θ

∭ E x d V = ∫ 0 2 π ∫ 2 3 r 3 cos 2 ⁡ θ d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 2 3 r 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d r d θ + 5 ∫ 0 2 π ∫ 2 3 r 2 cos ⁡ θ d r d θ

∭ E x d V = θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 0 2 π ⏟ π ∙ r 4 4 2 3 ⏟ 65 4 + sen 2 ⁡ θ 2 0 2 π ⏟ 0 ∙ r 4 4 2 3 ⏟ 65 4 + 5 sen ⁡ θ 0 2 π ⏟ 0 ∙ r 3 3 2 3 ⏟ 19 3 = 65 π 4

E fimmm

Resposta

∭ E x d V = 65 π 4

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Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )