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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 20a

Calcule a integral

∫ ∫ ∫ E ( x 2 + y 2 ) d x d y d z

onde E é a região limitada pelo cilindro x 2 +   y 2   =   4   e   p e l o s   p l a n o s   z   =   − 1   e     z   =   2 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo.

Nosso objetivo é calcular ∫ ∫ ∫ E ( x 2 + y 2 ) d x d y d z onde E é a região limitada pelo cilindro x 2 +   y 2   =   4   e   p e l o s   p l a n o s   z   = − 1   e     z   =   2 .

Passo 2

Vamos começar vendo nossa região de integração. Temos que:

− 1 ≤       z   ≤   2 .

e

x 2 +   y 2   =   4  

⇒ x = ± 4 - y 2

e

- 2 ≤ y ≤ 2

Então a integral fica

∫ ∫ ∫ E ( x 2 + y 2 ) d x d y d z = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ - 1 2 ( x 2 + y 2 ) d z d x d y

= ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ - 1 2 ( x 2 + y 2 ) d z d x d y

integrando em z

= ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 3 ( x 2 + y 2 ) d x d y

fazendo a mudança de variável para coordenadas polares. Temos:

x = r c o s ( u )

y = r s i n ( u )

⇒ d x d y   =   r d r d u

e como o x   e   y descrevem uma circunferência de raio 2 a integral fica

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 ( r 2 ) r d r d u

= ∫ 0 2 π 3 r 4 / 4 | r = 2 r = 0 d u

= ∫ 0 2 π 12 d u

= 24 π

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

24 π

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