Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

Ver Teoria
Exercício 45123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434446474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394

Enunciado

Coordenadas cilíndricas

Seja ℇ = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 ≤ 1,0 ≤ z ≤ y

  1. Represente graficamente o conjunto ℇ
  2. Usando coordenadas cilíndricas, calcule

∭ ℇ z d x d y d z

Passo 1

a )

Vamos começar esboçando a região ℇ

Se liga que x 2 + y 2 = 1 é um cilindro, enquanto z = 0 é o plano x y e z = y é um plano inclinado que contem o eixo x .

Passo 2

b )

Ele disse para usarmos coordenadas cilíndricas então, adivinha, vamos usá-las rs, faremos

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

O valor de z já está bem explicito pela região que ele deu

0 ≤ z ≤ y

Substituindo a coordena cilíndrica

0 ≤ z ≤ r   s e n   θ

Como só estamos pegando a parte positiva de y , sabemos que θ varia de 0 a π , ou seja só a metade de cima da circunferência.

Agora precisamos descobrir o intervalo de r . Pelo próprio gráfico, vemos que r ≥ 0 , mas qual o seu valor máximo? O outro limite ocorre no cilindro, onde temos a maior circunferência da região, então, vamos substituir esse valor na sua equação:

1 = x 2 + y 2   → 1 = r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2

r = 1

A região pode, então, ser escrita como:

ℇ = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ z ≤ r   s e n   θ }

Passo 4

Vamos para a integral

∭ ℇ z d x d y d z

Usando as coordenadas polares vamos ter

∭ ℇ z d x d y d z = ∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 r sen ⁡ θ z r d z d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 1 z 2 2 z = 0 r sen ⁡ θ r d r d θ =

⇒ ∫ 0 π ∫ 0 1 r 2 sen 2 ⁡ θ 2 r d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 1 r 3 sen 2 ⁡ θ 2 d r d θ = ∫ 0 π r 4 4 r = 0 1 sen 2 ⁡ θ 2 d θ

⇒ ∫ 0 π 1 4 sen 2 ⁡ θ 2 d θ = 1 8 ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

A integral vai ficar

1 8 ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ d θ = 1 8 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 8 θ - sen ⁡ 2 θ 2 2 θ = 0 π = 1 8 θ 2 - sen ⁡ 2 θ 4 θ = 0 π

⇒ 1 8 π 2 - sen ⁡ 2 π 4 - 0 2 - sen ⁡ 2.0 4 = 1 8 π 2 - 0 - 0 = π 16

Resposta

  1. π 16

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )