Determine o volume do sólido formado pela esfera centrada na origem de raio a com o cilindro de equação x 2 + y 2 = a y com a um número real maior que zero. Passo 1Fala pessoal, primeiramente, observe a imagem pra te dar uma dimensão melhor. Como uma das nossas superfícies limitantes é cilíndrica vou dar preferência ao uso de coordenadas cilíndricas com: d x d y d z = r s i n s i n θ d r d θ d z 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ r ≤ a s i n s i n θ - a 2 - r 2 ≤ z ≤ a 2 - r 2 A motivação para o limite de r vem do cilindro: r 2 θ + r 2 θ = a r s i n s i n θ ⇒ r = θ Assim, ∭ d x d y d z = ∫ 0 π ∫ 0 a s i n s i n θ ∫ - a 2 - r 2 a 2 - r 2 r s i n s i n θ d z d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 a s i n s i n θ r s i n s i n θ z - a 2 - r 2 a 2 - r 2 d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 a s i n s i n θ 2 r s i n s i n θ a 2 - r 2 d r d θ = ∫ 0 π s i n s i n θ - 2 3 a 2 - r 2 3 2 0 a s i n s i n θ d θ = ∫ 0 π s i n 2 3 s i n θ ( a 3 - a 3 | θ | ) d θ = = - 2 3 a 3 c o s c o s θ + 2 3 a 3 θ 4 0 π 2 + - 2 3 a 3 c o s c o s θ - 2 3 a 3 θ 4 π / 2 π = = 2 3 a 3 - 2 3 a 3 4 + 2 3 a 3 - 2 3 a 3 4 = 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 4 a 3 = a 3 Resposta V = a 3 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas CilíndricasVer TeoriaExercício 15123456789101112131416171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394Carregar mais exercícios (94) Exercícios de Livros RelacionadosEsboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(1, pi, e) (1, 3, pi/2, 2)Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )Ver TambémVer tudo sobre CálculoVer tudo sobre Integrais TriplasLista de exercícios de Mudança para Coordenadas Cilíndricas