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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

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Enunciado

IME, 2020, VF, Q1

Determine o volume do sólido formado pela esfera centrada na origem de raio a com o cilindro de equação x 2 + y 2 = a y   com a um número real maior que zero.

Passo 1

Fala pessoal, primeiramente, observe a imagem pra te dar uma dimensão melhor.

Como uma das nossas superfícies limitantes é cilíndrica vou dar preferência ao uso de coordenadas cilíndricas com:

d x   d y   d z = r s i n s i n   θ     d r d θ d z

0 ≤ θ ≤ π                   0 ≤ r ≤ a s i n s i n   θ                               - a 2 - r 2 ≤ z ≤ a 2 - r 2

A motivação para o limite de r vem do cilindro:

r 2 θ   + r 2 θ   = a r s i n s i n   θ   ⇒ r = θ  

Assim,

∭ d x d y d z = ∫ 0 π ∫ 0 a s i n s i n   θ   ∫ - a 2 - r 2 a 2 - r 2 r s i n s i n   θ     d z d r d θ

= ∫ 0 π ∫ 0 a s i n s i n   θ   r s i n s i n   θ   z - a 2 - r 2 a 2 - r 2   d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 a s i n s i n   θ   2 r s i n s i n   θ   a 2 - r 2   d r d θ

= ∫ 0 π s i n s i n   θ   - 2 3 a 2 - r 2 3 2 0 a s i n s i n   θ   d θ =       ∫ 0 π s i n 2 3 s i n   θ   ( a 3 - a 3 | θ   | ) d θ =        

= - 2 3 a 3 c o s c o s   θ   + 2 3 a 3 θ   4 0 π 2 + - 2 3 a 3 c o s c o s   θ   - 2 3 a 3 θ   4 π / 2 π =    

= 2 3 a 3 - 2 3 a 3 4 + 2 3 a 3 - 2 3 a 3 4 = 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 4 a 3 = a 3

Resposta

V = a 3

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )