Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 8 – Exercício 18
(Capítulo 15.8 – Exercício 18)
Utilize coordenadas cilíndricas
Calcule , onde é limitado pelo paraboloide e o plano .
Passo 1
Falaaa pessoal! Nesse exercício, vamos usar a conversão para coordenadas cilíndricas para calcularmos a integral , onde é limitado pelo paraboloide e o plano
Então boraaa
Passo 2
Temos uma integral tripla do tipo I. Isto é:
Observem que o plano limita a parte superior do nosso sólido, e não a inferior. A região é obtida a partir da projeção do nosso sólido. Neste caso, basta fazer a interseção do plano com o paraboloide. Logo,
Logo, temos um círculo de raio 2. Para passarmos para coordenadas cilíndricas, basta fazer:
E os limites de integração serão: e . Portanto,
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis:
Então, temos: