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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 2, Atividades Profº Plínio Santini - Atividade 2, Questão 4

Calcule a integral

∫ ∫ ∫ E x 2 d V

Onde E é o sólido que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , o plano z = 0 , e abaixo do cone

z 2 = 4 ( x 2 + y 2 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálc 2. Nosso objetivo é calcular a integral

∫ ∫ ∫ E x 2 d V

Onde E é o sólido que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , o plano z = 0 , e abaixo do cone

z 2 = 4 ( x 2 + y 2 )

Passo 2

Vamos começar montando nossa integral. Como nosso domínio é:

Onde E é o sólido que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , o plano z = 0 , e abaixo do cone

z 2 = 4 ( x 2 + y 2 )

Então a integral de interesse é:

∫ ∫ ∫ E x 2 d V = ∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 2 x 2 + y 2 x 2 d z d x d y

Passo 3

∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 2 x 2 + y 2 x 2 d z d x d y

Nossa integral é bem complicada, vamos fazer a seguinte mudança de variáveis:

x = r c o s ( θ )

y = r s i n ( θ )

z = z

Dessa forma, nossa integral vira

∫ 0 1 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r r 3 c o s 2 ( θ ) d z d θ d r

Integrando

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 π 2 r 4 c o s 2 ( θ ) d θ d r

Integrando

= ∫ 0 1 2 r 4 ( θ + c o s ( θ ) s i n ( θ ) ) 2 | θ = 1 θ = 0 d r

Aplicando os limites de integração

= ∫ 0 1 r 4 d r

Por fim, temos que a integral é:

= 1 / 5

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma quest��o. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 1 / 5

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