Considere o cone .
b) Usando obrigatoriamente uma integral tripla, calcule o volume do sólido que se encontra no primeiro octante e é limitado pela superfície e o plano .
Passo 1
Queremos calcular um volume de uma região entre duas superfícies. A gente pode fazer isso usando a integral tripla:
Sendo que é a região entre as superfícies.
No primeiro octante, nosso cone está virado para cima. E a gente pode escrever ele como a superfície
Isso porque no primeiro octante, a gente tem .
Como ele está virado para cima, a única forma de termos uma região fechada é se o cone limitar por baixo e o plano limitar essa região por cima.
Podemos fazer o gráfico dessas duas superfícies juntinhas para confirmar isso
Bora ver como fazer o que o enunciado está pedindo. Vem comigo!
Passo 2
A gente tem que descrever o domínio , que é essa região com formato de um cone maciço.
Percebe que a gente consegue limitar de maneira tranquila entre duas funções, já que a nossa região está limitada por baixo por e por cima por :
E percebe também que a interseção dessas duas superfícies é uma circunferência paralela ao plano . Essas são dicas de que a gente vai usar as coordenadas cilíndricas para descrever esse domínio.
Isso significa que a gente vai aplicar as transformações:
Então para escrever os extremos de integração, limitamos essas variáveis que a gente tem: e .
Já limitamos , mas ele está entre funções de e . Precisamos aplicar nossas transformações para ele ficar entre funções de e :
Agora tá belezinha!
Passo 3
E e ? Definir elas é parecido com definir uma região em por coordenadas polares. Precisamos achar essa circunferência de interseção entre as superfícies:
A gente vê que toda nossa região (quando a gente olha para ) está contida dentro dessa circunferência. Então a gente pode dizer que:
Mas lembra que a gente está no primeiro octante, onde . Esboçando esse domínio, a gente teria:
Como é o ângulo que sai do eixo no sentido anti-horário, para o nosso caso, ele está limitado assim
E como é um segmento que sai da origem e ai até a borda do círculo, que tem raio :
Passo 4
Agora é montar a integral. Primeiro a gente substitui nossa transformação no nosso integrando:
Depois a gente multiplica ele por
Aí a gente pode colocar nossos extremos de integração:
Passo 5
Bora calcular essa belezura:
Conseguimos! Uhul!