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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 34

Calcule a massa da região limitada por:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ r 2 ; x 2 + y 2 ≥ r 2 2 + z 2

Com δ x , y , z = x 2 + y 2

Passo 1

Olá meu caro amigo, tudo bem? Pronto para calcular a massa de uma região? Espero que sim pois é isso que iremos fazer. Para fazer isso precisaremos resolver uma integral tripla, sendo assim a melhor forma para tal é parametrizarmos utilizando coordenadas cilíndricas.

x = ρ cos ⁡ ϕ

y = ρ sin ⁡ ϕ

z = z

O nosso já conhecido jacobiano é

J = ρ

E os limites de integração são

x 2 + y 2 + z 2 ≤ r 2   ↔ ρ 2 + z 2 ≤ r 2   ↔ ρ 2 ≤ r 2 - z 2

x 2 + y 2 ≥ r 2 2 + z 2   ↔ ρ 2 ≥ r 2 2 + z 2

r 2 2 + z 2 ≤ ρ ≤ r 2 - z 2

- r 2 ≤ z ≤ r 2

Passo 2

Agora é a hora de calcularmos de fato a nossa integral

M = ∫ ∫ ∫ E δ ρ , θ , z ρ d ρ d θ d z

= ∫ 0 2 π ∫ - r 2 r 2 ∫ r 2 2 + z 2 r 2 - z 2 ρ 2 ∙ ρ d ρ d θ d z

= ∫ 0 2 π d θ ∫ - r 2 r 2 ρ 3 d ρ d z

= 2 π ∫ - r 2 r 2 1 4 r 2 - z 2 2 - r 2 2 + z 2 2 d z

= π 2 ∫ - r 2 r 2 r 4 - 2 r 2 z 2 + z 4 - r 4 4 + 2 r 2 2 z 2 + z 4 d z

= π 2 ∫ - r 2 r 2 ( 3 4 r 4 - 3 r 2 z 2 ) d z

= 3 π 2 r 2 r 2 4 r 2 - - r 2 - 1 3 r 2 3 - - r 2 3

= 3 2 π r 2 r 3 4 - 1 3 ∙ r 3 4

= π 4 r 5

Resposta

= π 4 r 5

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Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )