Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 8 – Exercício 24
(Capítulo 15.8 – Exercício 24) Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide e a esfera .
Passo 1
E aíí galera, vamos lá pra mais uma??
Queremos determinar o volume do sólido que está entre o paraboloide e a esfera , e para isso vamos usar integrais triplas
Mas antes vamos analisar o domínio desse sólido, pra aí sabermos quais são os limites de integração, fechou?
Passo 2
Temos uma integral tripla do tipo I. Como o sólido está limitado acima pela esfera e abaixo pelo paraboloide, temos:
Percebam que o limite superior foi obtido ao isolarmos o na equação da esfera.
O questionamento agora é: quem é a região ?
Ela é obtida a partir da projeção do nosso sólido no plano . Para obtermos esta projeção, basta igualarmos o valor de das duas equações (paraboloide e esfera). Portanto, temos:
Passando para coordenadas polares, temos:
Como e pertence aos números reais, a única solução se dá quando:
Portanto a interseção das duas superfícies é uma circunferência de raio 1 e centro na origem. Passando a nossa função para coordenadas cilíndricas, temos que resolver a seguinte integral:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis:
Então, temos