Questão 3. Calcule a integral tripla
onde
Passo 1
Bem, para calcularmos essa integral em cima de , é muito legal que tenhamos um esboço dele, veja só! :D
Primeiro desenhe a esfera de raio () centrada na origem:
Agora, corte esse pedacinho de esfera aí pelo cilindro () de raio :
Ahhhh! Lembre-se de que estamos acima do plano , heim ;)
Passo 2
Pow! estamos dentro de um cilindro, então nada mais justo que pensarmos na mudança para coordenadas cilíndricas, certo?
Então troquemos...
O Jacobiano continua o mesmo:
Como sempre, só terminamos uma troca depois que verificamos onde cada um desses novos termo ( ) variam!
Passo 3
No caso, é bem easy de se encontrar, afinal de contas ele é o cara que está variando da origem até a casca do cilindro vermelho:
, easy também, pois como ele gira ao redor do eixo no plano , vemos que ele precisa dar uma volta completa, logo
Em relação a ultima variável, o , perceba que ele varia de uma base até um teto:
como a esfera azul é , isolando...
Sim, estamos em outras coordenadas agora, então
Passo 4
Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!
Lembre-se de substituir pelas coordenadas cilíndricas e não deixar de multiplicar pelo ;)
Resolvendo a integral de dentro...
substituindo e simplificando...
em seguida calculando a integral do meio
Chegamos a...