UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 3
Encontre o volume dos sólidos limitado pelos cilindros e .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o volume dos sólidos limitado pelos cilindros e .
Para isso, devemos utilizar coordenadas cilíndricas, que são representadas como , onde é a distância do ponto ao eixo , é o ângulo polar e é a coordenada vertical.
Agora vamos determinar os limites de integração:
- varia de a ,pois está limitado pelo raio do cilindro ;
- varia de a para cobrir todo o círculo;
- varia de a , pois o cilindro é simétrico em relação ao plano .
Dessa forma, determinaremos o volume a partir da seguinte integral tripla:
Eaí? Bora lá resolver?
😉
Passo 2
Bom... Integrando primeiro em relação a , vamos pegar essa integral:
Colocando a constante para fora e desenvolvendo, temos:
Agora vamos integrar em relação a .
Passo 3
Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:
Resolvendo em relação a , temos:
Fazendo , temos:
Passo 4
Por fim, aplicando na última integral em relação a , temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
