Seja a região interior à esfera que satisfaz e .
- Descreva em coordenadas cilíndricas.
- Supondo que a densidade é , determine a massa .
Passo 1
Letra a)
Vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido
A equação representa uma esfera de raio . A outra equação representa um hiperboloide de uma folha. Se você reparar, a equação é bem parecida com a do cone, a diferença é que temos um número independente (no caso, o ), não apenas as variáveis. Realmente, o hiperbolóide tem certa semelhança com o cone, não é? Olha só:
O problema diz que é a região dentro da esfera e do paraboloide, com , portanto:
Passo 2
Agora precisamos escrever essa região em coordenadas cilíndricas, como o problema pede. Faremos:
Vamos agora fazer essa substituição na equação do hiperboloide e na da esfera:
Pela figura, vemos que, na parte de baixo do sólido, varia desde o eixo até a superfície do paraboloie e na parte de cima, desde o eixo até a superfície da esfera. Prontanto, nós teremos que dividir nossa região em duas partes para descrevê-la em coordenadas cilíndricas (se você seguir o mesmo raciocínio para a coordenada , chegará à mesma conclusão).
Vamos chamar esse “tronco” formado pelo paraboloide de e a “tampa” formada pela esfera de , temos .
Para
Temos o raio entre e o paraboloide, logo, .
Vemos, também, que , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria . Já a coordenada varia desde até o ponto em que as superfícies se encontram.. Para isso, temos que encontrar a altura onde as superfícies se cortam:
Assim, escrevermos a região como:
Para
Temos o raio variando entre e a superfície da esfera, logo, . Novamente, . E vai desde a interseção entre as superfícies, até o topo da esfera (é o raio da esfera).
Temos então:
Passo 3
Letra b)
O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por . Nós sabemos que:
Onde é o diferencial de massa e o de volume. Integrando ambos os lados na região em que o sólido está contido, temos que:
Passo 4
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos nas integrais:
Passo 5
Agora vamos integrar em relação a :
Passo 6
Agora em relação a :
Passo 7
Finalmente, em relação a :