Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 7 – Exercício 20
(Capítulo 15.7 – Exercício 20) Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelos paraboloides e
Passo 1
Oiee gente, e vamos de integral tripla!!
Aqui queremos calcular o volume do sólido limitado pelos paraboloides e
Antes de tudo, vamos entender o domínio que estamos trabalhando, pra aí aplicar isso em uma integral tripla ok?
Bora!
Passo 2
Precisamos entender primeiramente qual o domínio que estamos trabalhando. Como nossos paraboloides possuem eixo de simetria o eixo (é o que não está elevado ao quadrado), teremos que integrar primeiro em relação a .
Isso porque temos uma região do tipo III (limitada a esquerda por uma superfície e a direita por outra superfície). Portanto, temos:
Agora, precisamos entender o comportamento da região no plano . Para isto, vamos igualar o valor de em ambas as curvas e estudar a interseção delas! Logo,
Logo, temos uma circunferência de raio 2 centrada na origem! Portanto, temos que resolver a seguinte integral:
Então boraaa
Passo 3
Temos essa integral:
Observem que, no plano temos um círculo. Vamos escrever então, ao invés de coordenadas e , no sistema de coordenadas polares. Portanto,
Fazendo esta mudança, temos a seguinte integral:
Passo 4
Precisamos começar integrando a variável Portanto,
Passo 5
Agora, precisamos integrar em relação a . Logo,
Passo 6
Por fim, basta integrarmos em relação a , e aí temos:
Showww, então o volume da superfície é