Calcule , onde é o sólido limitado pelas superfícies e .

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Substituir esses valores na equação da semi-esfera, temos:

Agora, na equação do paraboloide:

Como os valores de variam entre o paraboloide e a esfera, temos . Pelo próprio gráfico, vemos que , faltam, então, os limites de . Já sabemos que , mas qual o seu valor máximo? Temos esse valor quando as duas superfícies se encontram, certo? Vamos, então, fazer essa interseção:

O que nos dá e , mas, como o ponto não pertence ao paraboloide nem à esfera, sabemos que as superfícies se cortam em . Vamos descobrir, agora, que curva elas formam, substituindo esse valor na equação de uma das superfícies:

Essa é a equação de uma circunferência de raio , portanto, descobrimos que . Então, podemos escrever a região como:

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

Integrando em relação a , temos:

Agora, integramos em relação a :

Finamente, integramos em relação a :