Determine o volume do sólido , que está contido no cilindro , abaixo do plano e acima do paraboloide .
Passo 1
O volume que queremos calcular será dado por .
Vamos, então, fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido:
O paraboloide está virado para baixo porque os termos que multiplicam e são negativos.
Passo 2
Como o sólido possui simetria em relação ao eixo e as equações que o limitam tem termos quadráticos, parece uma boa ideia usar coordenadas cilíndricas. Teremos:
Passo 3
Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo a substituição cilíndrica na equação do cilindro, teremos , como já vimos. Temos, então,
Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:
Esse é o limite inferior de , o superior é o plano .
Agora falta a variável . Uma vez que o sólido está envolta do eixo , temos que varia entre e . Então, podemos escrever a região como:
Passo 4
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:
Passo 5
Integrando em relação a , temos:
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Passo 7
Finamente, integramos em relação a :