Origem do Exercício
Se de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.
(a)
(b)
(c) Nenhume das alternativas
(d)
(e)
Passo 1
Essa é uma questão de otimização. Nesse tipo de situação, o primeiro passo é escrever a restrição.
Nesse caso, a restrição é que só temos de material, ou seja, a área total da caixa não pode passar disso.
Como podemos escrever uma equação para a área total da caixa? Bom, se ela tem base quadrada, a área vai depender só de dois parâmetros: o lado da base, e a altura da caixa:
Nessa fórmula somamos a área da base à área de quatro retângulos de lados e .
Beleza, temos nossa restrição.
Passo 2
Agora o segundo passo é escrever a função a ser otimizada usando as mesmas variáveis.
Nesse caso, estamos interessados no volume da caixa:
Nosso objetivo aqui é maximizar essa função. Como é difícil fazer isso com duas variáveis, vamos substituir uma delas usando a restrição lá de cima:
E substituindo isso na função do volume:
Passo 3
Beleza, agora que temos a função a ser maximizada em termos de uma variável só. Podemos partir para a derivada, queremos achar os pontos críticos dessa função:
Para garantir que isso é um ponto de máximo, precisamos verificar que a derivada segunda é negativa quando .
Que é, de fato, negativo quando .
Passo 4
Ok, agora é só acharmos o valor de que acompanha esse e depois calcular o volume!
E então o volume é:
Resposta
Letra (a).