Calculo 1 – UFPE – 2° EE
Considere a parábola .
- Encontre uma expressão para a distância de um ponto pertencente à parábola até o ponto .
- Determine o(s) ponto(s) da parábola no(s) qual(is) a distância ao ponto seja mínima.
Passo 1
Bom, as coordenadas dos dois pontos já foram dados. Um ponto pertence a parábola se e somente se ele possui a seguinte coordenada: . Basta agora fazermos a distância deste ponto até o ponto .
Para calcularmos a distância, basta tirarmos as raízes da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas. Eita! Parece bem complicado ao escrevermos! Vamos montar a função, o que deixa tudo mais simples.
Portanto,
Pronto, esta é a função distância.
Passo 2
Vamos facilitar a nossa vida. Minimizar a função distância nos vai fornecer os mesmos pontos que minimizar a função distância ao quadrado, isto é:
Se minimizarmos a função , obteremos os mesmos pontos de mínimo global. Para verificarmos estes pontos de mínimo, vamos derivar a nossa função, obter os pontos críticos e analisar o diagrama de crescimento/decrescimento da função.
Portanto, vamos para as nossas contas. Derivando a função, temos:
A nossa função possui pontos críticos em , e .
Para analisarmos o intervalo de crescimento e decrescimento, fica mais fácil montarmos uma tabela e analisar o sinal separadamente de cada um dos termos que compõem a nossa . Depois, é só fazer o produto destes sinais.
Se fizermos isto, teremos a seguinte tabela:
Pelo teste da primeira derivada, sabemos que os pontos de mínimo relativo são e . Calculando os valores da função nestes pontos temos: . Como a função é decrescente para e crescente para , temos então que os pontos e são pontos de mínimo global.
Logo, a distância da parábola ao ponto é mínima para .
Resposta
- A função distância é:
- A distância é mínima para .