UFSC – 2018.1 – P1
Para produzir uma caixa com base quadrada são usados materiais cujos custos são os seguintes: 1 real por metro quadrado para a base, e 4 reais por metro quadrado para as laterais. Quais devem ser as dimensões da caixa, sem tampa, que suporta 1 metro cúbico de volume, que minimizam o custo da caixa?
Passo 1
Fala ai, pessoal, agora temos aqui uma questão de otimização! Vamos devorar as informações devagarinho, a primeira informação é que a base da caixa é quadrada, então se falarmos que o lado desse quadrado é denominado por :
A área de um quadrado é lado multiplicado por lado:
E qual é o custo do metro quadrado da base? Vale .
Passo 2
Vamos olhar para a lateral agora. Ele não me disse que a lateral é quadrada, então vamos supor que a lateral tem uma altura :
Mas como a lateral tem a mesma largura da base, então o outro lado dessa lateral é o próprio , logo a área desse retângulo da lateral é:
E qual é o custo do metro quadrado da lateral? Vale .
Passo 3
Outra informação que ele nos deu é que o volume da caixa é igual a , beleza, mas como calculamos o volume de uma caixa? É a área da base vezes a altura:
Relembrando, a área da base que já definimos em relação a e a altura da caixa em relação a :
Então podemos determinar a relação entre e :
Passo 4
Vamos então montar quanto seria o custo de produzir uma caixa, que tem um fundo e quatro laterais da caixa, não esquece que não tem tampa:
Substituindo as informações que temos:
Substituindo o valor de que encontramos:
Uhuul, achamos a função custo!
Para minimizarmos esse custo, precisamos encontrar o ponto de mínimo para essa função !
Como vamos encontrar esse mínimo? Começando pela primeira derivada:
Igualando isso a zero, encontramos o ponto crítico:
Beleza, como é um ponto crítico, temos que verificar se ele realmente é um ponto de mínimo. Para isso vamos verificar o sinal da derivada da função nos intervalos em que e que .
Se para na primeira derivada resultarão em valores maiores que e valores menores que resultarão em valores menores que na primeira derivada:
Se , para e , para , então a função é decrescente antes de e crescente depois desse ponto. Logo, esse é um ponto de mínimo!
Se , para e , para , então a função é crescente antes de e decrescente depois desse ponto. Logo, esse é um ponto de máximo!
Nosso caso é o primeiro. Ou seja, confirmamos que se trata de um ponto de mínimo!
Passo 5
Apesar de já termos encontrado o valor de que minimiza a função de custo, precisamos encontrar o valor das dimensões da caixa, então vamos substituir o valor de para encontrar :
Vamos agora substituir e nas dimensões das caixas:
Enquanto a altura da caixa: