UFRJ – Cálculo 1 – Lista 13 – Questão 2
(a) Mostre que, de todos os retângulos com perímetro , aquele com maior área é o quadrado. (b) Mostre que de todos os retângulos com área A, o de menor perímetro é o quadrado.
Passo 1
(a) e (b) Temos aqui mais um problema de otimização. Bem, a gente sabe que da um retângulo de lados e , temos que a soma dos lados é igual ao perímetro, certo? Para fins de cálculo, vamos dizer que esse perímetro seja igual a 100 m.
Logo, temos a seguinte equação:
Temos também como calcular a área desse retângulo, certo?
Mas já sabemos quem é , então bora substituir.
Passo 2
Para encontrar o máximo, basta derivarmos e igualar a zero
Encontrando
Temos que as dimensões do retângulo são e . Tcharammmm, os lados são iguais, ou seja, estamos falando de um quadrado!!!
Resposta
As dimensões do retângulo são e