(a) Mostre que, de todos os retângulos com perímetro L , aquele com maior área é o quadrado. (b) Mostre que de todos os retângulos com área A, o de menor perímetro é o quadrado.

Passo 1

(a) e (b) Temos aqui mais um problema de otimização. Bem, a gente sabe que da um retângulo de lados b e h , temos que a soma dos lados é igual ao perímetro, certo? Para fins de cálculo, vamos dizer que esse perímetro L seja igual a 100 m.

Logo, temos a seguinte equação:

2 b + 2 h = 100

b = 100 - 2 h 2 = 50 - h

Temos também como calcular a área desse retângulo, certo?

A = b ⋅ h

Mas já sabemos quem é b , então bora substituir.

A = 50 - h ⋅ h

A = 50 h - h 2

Passo 2

Para encontrar o máximo, basta derivarmos e igualar a zero

d A d h = 50 - 2 h

50 - 2 h = 0

2 h = 50

h = 25

Encontrando b

b = 50 - 25 = 25

Temos que as dimensões do retângulo são b = 25 m e h = 25 m . Tcharammmm, os lados são iguais, ou seja, estamos falando de um quadrado!!!

Resposta

As dimensões do retângulo são b = 25 m e h = 25 m

Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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