Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de no lado paralelo ao rio e de nos dois extremos, ache o campo de maior área que possa ser cercado com de materiais.

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Sendo que temos como limitante aquele preço de . Bom, se custa a cerca do lado paralelo e a dos outros dois, posso criar um custo, estando e em metros, dado por essa equação:

Repara que são dois lados de comprimento e um lado . Como ele diz que esse custo é fixo em , ficamos assim:

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Juntando a última equação à da área, tendo colocado o em evidência:

Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Se eu procuro o ponto crítico da área, ou seja, a maior possível, devo derivar e igualar a esta equação:

Como é um polinômio, a derivada sempre vai existir.

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Como a derivada é fácil de calcular, é melhor derivar de novo e aplicar o teste da segunda derivada.

Como a segunda derivada é negativa, esse é um ponto de máximo.

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não há outros pontos críticos a calcular, então, próximo passo!

Pegamos o melhor ponto crítico obtido no passo e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.

Olhando para função área:

Vemos que o menor valor para é zero, uma vez que é uma medida. O maior é . Para zero. A área é zero e inútil. Para :

O que também não é aplicável. Dessa maneira é um ponto de máximo global, onde:

Eu sei que é repugnante, mas esse é nosso resultado.