Problemas de Otimização
Um caixa de água no formato de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero, deverá ser construída e conter de capacidade. Calcule as dimensões desta caixa, de modo que a área total seja mínima
Passo 1
Ok, um prisma reto cuja base é dada por triângulos equiláteros terá como área total as 3 áreas laterais e as duas áreas horizontais, uma na base e uma na “tampa”. Bom, as horizontais são dadas pela área do triângulo equilátero, que se eu considerar que tem lado será:
Já a área lateral do prisma, se considerarmos uma altura , fica assim:
Assim, a função da área total será:
Porém, além disso, temos um vínculo entre e , já que o volume é de independente de qualquer variável. Como o volume de um prisma é dado pela base vezes a altura, ficamos assim:
Isolando e mantendo só o na equação da área ficaremos assim:
Passo 2
Tendo a função que queremos otimizar basta derivar e igualar a para achar o ponto ótimo da função:
A outra dimensão será:
Lembrando que , por isso nossa resposta está nessa unidade. Em metros, nossa resposta será: