4. Um terreno retangular deve ser cercado. Dois lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa o metro, enquanto os outros dois restantes recebem uma cerca padrão de o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com ?
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui, nós temos uma questão de otimização, onde queremos encontrar a maior área para construir um cercado retangular por .
Temos que a área do retângulo é dada por:
Onde é o comprimento do lado reforçado com custo de e é comprimento do lado de cerca padrão de .
Mas ainda não podemos fazer a nossa otimização da área, precisamos deixar a fórmula em função de uma única variável.
Vamos olhar para outras informações que o enunciado nos forneceu!
Passo 2
Já para calcular o custo, precisamos somar o custo de cada lado. Então teremos dois lados que custaram o metro e dois lados que custaram o metro.
Como o valor máximo é de , temos então que
Agora podemos deixar em função de ,
Agora podemos substituir essa relação na fórmula da área!
Passo 3
Juntando as informações encontradas nos Passos 1 e 2, ficamos com
Agora vamos otimizar a área, buscando a maior área. E para fazer isso vamos ter que achar o máximo global.
Então vamos achar os pontos críticos! Fazemos isso, derivando a nossa função e igualando a zero. Derivando com relação a
Igualando a zero,
Resolvendo essa equação temos que
Agora vamos achar a outra dimensão!
Passo 4
Para achar , vamos usar a formula do custo!
Substituindo
Logo, as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com será de .