Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um triângulo equilátero com lado se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo.

2º Passo: Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Como relacionar , e ? Vamos desenvolver um pouco mais a figura para encontrarmos uma relação através do Teorema de Pitágoras. Repare:

O triângulo formado acima do retângulo também será um triângulo equilátero, já que seus ângulos são de . Portanto, repare que o triângulo formado pelas três bolinhas azuis na figura é um triângulo retângulo e, por isso, podemos aplicar Pitágoras:

Essa é a relação entre e . Lembrando que é um dado do problema. Ou seja, é como se o enunciado tivesse dado quanto vale o lado do triângulo equilátero. ou um número dá no mesmo. O nosso resultado ficará em função de . A área do retângulo é:

3º Passo: Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Queremos maximizar a função área :

E sabemos que:

Substituindo:

4º Passo: Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Como é um polinômio, a derivada sempre existirá

5º Passo: Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Vamos analisar a função:

Usando o teste da primeira derivada, podemos ver que para todo e para todo . Portanto, é realmente um ponto de máximo global.

Nem precisamos dos outros passos, já mostramos que é global.