Origem do Exercício
Um fazendeiro tem pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem a maior área?
(a) por
(b) por
(c) por
(d) por
(e) por
Passo 1
Vamos supor que as dimensões de um campo sejam representadas por um ponto .
Se o campo é retangular, a quantidade de cerca usada para cercá-lo completamente é igual ao perímetro do retângulo, menos o lado em que temos o rio, vamos supor que seja na coordenada (não faz diferença).
E o que queremos fazer é maximizar a área de um campo que segue essa condição.
A área desse campo é:
Passo 2
Maximizar essa função é difícil quando temos duas variáveis, então vamos usar a primeira equação para simplificar nossa vida:
Então:
Agora sim, podemos maximizar essa função. Para isso precisamos começar encontrando os pontos críticos:
E para conferir que esse ponto é um máximo, a derivada segunda precisa ser negativa nesse ponto:
Ok, então a área é maximiza (considerando a restrição), quando .
Passo 3
Agora que temos o ponto , podemos calcular o :
Então o nosso ponto tem coordenadas .
Resposta
Letra (d).