Seja um ponto da curva mais próximo do ponto . A distância entre e é:

1. .
2. .
3. .
4. .

Show! Então temos que achar o mínimo dessa expressão aí. O mínimo se estará nos pontos críticos que ocorrem quando a derivada é zero ou não existe.

Como precisamos da derivada para prosseguir, vamos calculá-la usando a regra da cadeia:

Vamos ver agora quando a derivada não existe. Isso vai acontecer quando o denominador zera, mas esse denominador não tem raízes reais e é sempre positivo, logo não nos interessa.

Vamos então para quando a derivada é zero:

Esse é o único ponto crítico. Vamos ver se é de fato um ponto de mínimo. Testando à esquerda desse ponto, em :

Agora à direita, em :

Como a derivada é menor que zero à esquerda e maior que zero a direita, pelo teste da primeira derivada, se trata, de fato, de um ponto de mínimo.

Vale lembrar que essa é uma questão objetiva e esse é o único ponto crítico. Então, se você tiver sem tempo, vá na fé e considere logo o ponto como sendo um ponto de mínimo! Só não vá dá esse mole nas discursivas, porque se tira ponto!

Calculado o ponto, vamos encontra correspondente substituindo na curva:

Descartando a parte negativa, pois usaremos a distância. Substituindo na expressão da distância:

Que é exatamente a letra !