Seja uma reta passando pelo ponto com inclinação negativa. Dentre todos os triângulos retângulos obtidos tomando e a interseção da reta com o primeiro quadrante, encontre as dimensões do que possui a menor hipotenusa.

Temos que a reta liga à e podemos encontrar sua equação, o que vai nos dar uma relação entre e . A reta tem equação:

Sabendo que passa por :

Também sabemos que ela passa pelo ponto :

Substituindo tudo:

Além disso, ela passa pelo ponto , logo:

Obs.: Note que .

Agora sim temos nossa relação. Desejamos minimizar a hipotenusa, que por Pitágoras tem comprimento:

Substituindo a relação entre eles:

O mínimo é um ponto crítico que ocorre em . Portanto, pela regra da cadeia:

Igualando à zero obtemos:

Sumindo com esse denominador que nunca vai poder ser zero ficamos com:

Agora precisamos provar que é um mínimo e que também é global. Uma alternativa é o teste da derivada segunda, a outra é simplesmente analisar o sinal da derivada . O segundo teste é mais conveniente:

Arrumando, podemos ver que o denominador não influencia no sinal. Por ser uma raiz ele é sempre positivo:

Podemos fazer um estudo do sinal. Precisamos saber quando a função doida é negativa ou positiva. Então vemos:

Supondo positivo podemos inverter normalmente:

Agora supondo negativo invertemos considerando o sinal:

Como supusemos , temos:

Portanto as desigualdades é abaixo são sempre válidas:

Logo, temos que a função doida é positiva no intervalo:

Portanto obtemos:

Estamos estudando o ponto . Nas redondezas de , para temos , ao passo que para temos .

Está demonstrado então que o nosso ponto é mínimo. As dimensões são então: