Um fabricante de latas precisa fabricar latas cilíndricas com capacidade de 1 L. Sabendo que o custo do material da tampa é o dobro do custo da parte lateral e do fundo, qual as dimensões da lata que proporciona o custo mínimo.

Passo 1

Vamos assumir uma lata de raio r e altura h . Sabemos que o volume será dado por:

V = π r 2 h = 1

π r 2 h = 1

E que a área superficial dessa latinha será dada pela área da base somada com a área da tampa e as laterais.

A t = A b a s e + A t a m p a + A l a t e r a l

A t = 2 π r 2 + 2 π r h

A nossa restrição diz que o custo do material da tampa é o dobro do custo da parte lateral e do fundo:

C t o t a l = C 2 π r 2 + 2 π r h + 2 C 2 π r 2

Queremos minimizar a área de tal forma que tenhamos o menor custo e ainda assim a capacidade de 1L.

Pela equação do volume, temos:

h = 1 π r 2

Substituindo na equação de custo, temos:

C t o t a l = C 2 π r 2 + 2 π r   1 π r 2 + 2 C 2 π r 2

C t o t a l = C 2 π r 2 + 2 r + 4 C π r 2

Passo 2

Fazendo d C t o t a l d r = 0

d C d r = C 4 π r - 2 r 2 + 8 C π r = 0

4 π r - 2 r 2 + 8 π r = 0

Multiplicando tudo por r 2

4 π r 3 + 8 π r 3 - 2 = 0

2 π r 3 + 4 π r 3 - 1 = 0

6 π r 3 = 1

1 6 π 3 = r

r = 1 6 3

Logo, temos que a altura é dada por:

h = 1 π r 2 = 36 π 3

Resposta

h = 36 π 3

r = 1 6 3

Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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