Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria
Exercício 22123456789101112131415161718192021232425262728293031323334353637383940414243444546

Enunciado

IME, Cálculo 2, 2019, VC, Q3

Seja h x , y , z = x 3 - 6 x - 9 y + 2 z 3 + y 3 + 16 - 18 z . Determine o que se pede ou prove que não existe:

  1. Pontos extremos de h ( x , y , z ) .
  2. Pontos de sela de h ( x , y , z ) .
  3. Ponto máximo e mínimo global de h ( x , y , z ) .

Passo 1

Faaala, gente! Primeiro, vamos determinar os pontos P estacionários dessa função, que satisfazem ∇ h P = 0 . Feito isso, devemos classifica-los como nos itens e para isto utilizaremos uma análise baseada nos autovalores da matriz Hessiana da função h nos pontos. Mãos à obra!

∇ h = 3 x 2 - 6 ,   - 9 + 3 y 2 ,   6 z 2 - 18 = ( 0,0 , 0 )

⇒ x 2 , y 2 , z 2 = ( 2,3 ,   3 )

Assim, combinando os sinais das raízes temos 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 pontos estacionários. São eles:

S = { 2 ,   3 , 3 ,   2 ,   3 , - 3 ,   2 ,   - 3 , 3 ,   - 2 ,   3 , 3 ,

( 2 ,   - 3 , - 3 ) ,   ( - 2 ,   3 , - 3 ) ,   ( - 2 , -   3 , 3 ) ,   ( - 2 ,   - 3 , - 3 ) }

Passo 2

A matriz hessiana é dada por:

H x , y , z = ∂ 2 h ∂ x i ∂ x j i , j = 1 3  

= ∂ ∂ x ( ∇ h ) ∂ ∂ y ( ∇ h ) ∂ ∂ z ( ∇ h )   = 6 x 0 0 0 6 y 0 0 0 12 z

Geralmente jogamos os pontos antes de buscar os autovalores, contudo como a matriz é simples, veja que seus autovalores dessa matriz serão dados por:

det ⁡ λ I - H ( x , y , z ) = 0

⇒ λ - 6 x 0 0 0 λ - 6 y 0 0 0 λ - 12 z = 0

⇒ λ - 6 x λ - 6 y λ - 12 z = 0

λ 1 = 6 x ,         λ 2 = 6 y ,           λ 3 = 12 z

Temos por sua vez que:

Observe que os autovalores seguem o sinal do ponto a qual a hessiana se refere. De forma que, dentre os elementos de S , temos que 2 ,   3 , 3 será ponto de mínimo relativo, - 2 ,   - 3 , - 3 ponto de mínimo relativo, enquanto os outros 6 elementos com sinais distintos em suas coordenadas serão pontos de sela como indica a tabela.

Passo 3

Quanto a extremos globais, observe que os termos de

h x , y , z = x 3 - 6 x - 9 y + 2 z 3 + y 3 + 16 - 18 z

que mais crescem são os termos cúbicos: x 3 + 2 z 3 + y 3 , dentre os quais:

lim x , y , z → ∞ ,  ∞ ,  ∞ ⁡   x 3 + 2 z 3 + y 3 = ∞                         lim x , y , z → - ∞ , -  ∞ , -  ∞ ⁡   x 3 + 2 z 3 + y 3 = - ∞

Dessa forma, não há máximos ou mínimos globais.

Resposta

  1. { 2 ,   3 , 3 , - 2 ,   - 3 , - 3 } .
  2.   2 ,   3 , - 3 ,   2 ,   - 3 , 3 ,   - 2 ,   3 , 3 , 2 ,   - 3 , - 3 ,   - 2 ,   3 , - 3 ,   - 2 , -   3 , 3
  3. Não há.

Exercícios de Livros Relacionados

1. Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:e) 4 y 2 e - ( x 2 + y 2 )
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:c) f x ,y = x y - x 3 - y 2
2-Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.a) f x , y = x - y 4 + x + y + 2 2 , ponto de mínimo.
2- Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.b) f x , y = 1 - x 4 - y 4 , ponto de máximo.
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = xs e ny