UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.1, Questão 14
Considere as afirmativas abaixo:
Se uma matriz possui autovetor, ela é inversível
Se uma matriz quadrada não possui autovetores, ela não é inversível
(a)
(b)Ambas são falsas
(c) Ambas são verdadeiras
(d)
Passo 1
A primeira afirmativa é falsa!
Vamos supor que o autovetor que a matriz possui pertence ao núcleo, ou seja, autoespaço associado ao Assim, a dimensão do núcleo vai ser maior que zero e consequentemente, o determinante da matriz vai ser nulo!
Quando o determinante é igual a zero, a matriz não é inversível.
Assim, provamos que essa afirmação não está correta!
Passo 2
Essa afirmativa também vai ser falsa!
Se a matriz quadrada não possui autovetores, ela não vai ter o autovalor como autovalor. Ou seja, o seu núcleo vai ter dimensão 0.
Assim, o determinante vai ser diferente de 0 e consequentemente a matriz vai ser inversível!
Resposta
b