USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2017, Questão 4
Seja
Considere as seguintes afirmações.
(I) possui dois autovalores reais distintos;
(II) é diagonaliz ́avel sobre ;
(III) possui dois autovalores reais distintos.
Assinale a alternativa correta:
(a) todas as afirmações são falsas;
(b) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
(c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
(d) todas as afirmações são verdadeiras;
(e) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras. Show? Vamos nessa!!
Começando pela primeira. possui dois autovalores reais distintos. Como
Seus autovalores são dados pelas raízes do polinômio definido por
nesse caso, o polinômio é:
cujas raízes são:
Logo os autovalores de são complexos. A primeira afirmação é falsa
Passo 2
A segunda afirmação diz que é diagonaliz ́avel sobre
Como vimos no passo anterior que tem dois autovalores complexos distintos, logo terá autovetores LI, o que implica que é diagonalizável sobre . Então, a segunda afirmação é verdadeira.
Por fim, a terceira afirmação diz que possui dois autovalores reais distintos. Como é diagonalizável. Temos que
Uma vez que é a matriz diagonal contendo os autovalores de . Temos que
Logo como também é diagonalizável. Seus autovalores serão
Ambos Reais. Logo a terceira afirmação é verdadeira.
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
e)